"حرکت وجود ندارد...؟؟؟"

همه ما بوسیله ماشین یا اتوبوس هر روز از جایی به جای دیگر حرکت می کنیم و به کارهای روزمره خود می رسیم . اگر حرکتی نکنیم هرگز جابجایی نیز صورت نخواهد گرفت.

پارادوکس های زنون( یا تضاد زنو ) مساله ای است که توسط زنون( زنو )، فیلسوف یونانی، در ۲۴۰۰ سال پیش طرح شد .این مساله در تایید نظریه "همه چیز یکی است" فیلسوف بزرگ یونانی "پارامندیس" طرح شده است و تا زمان قرون وسطی حل نشده باقی مانده بود.حتی بعد از قرون وسطی نیز خیلی از فیلسوفان اعتقاد داشتند پارادوکس های زنون کاملا حل نشده است.

پارادوکس حرکت

آشیل و لاک پشت

"هرگز نمیتونی بهش برسی"

 

 "در یک مسابقه، سریعترین دونده هرگز نمی تواند از آهسته ترین دونده سبقت بگیرد، زیرا که تعقیب کننده اول باید همیشه به نقطه شروع تعقیب شونده برسد، پس همواره کندترین جلوتر است."

ارسطو-فیلسوف یونانی 239 قبل از میلاد

 در پارادوکس زنون ما آشیل قهرمان ادیسه هومر را، در یک مسابقه دو با لاک پشت تصور می کنیم. به دلیل اینکه او یک دونده بسیار سریع است و قلب بخشنده ای دارد! به لاک پشت اجازه می دهد که سی متر جلوتر(100 فوت ) از او مسابقه را شروع کند... اگر ما فرض کنیم هر دو با سرعت ثابت حرکت می کنند( یکی خیلی سریع و یکی خیلی آهسته )، بعد از مدتی آشیل 30 متر را طی کرده و به نقطه شروع لاک پشت(نقطه اول) خواهد رسید. در همین مدت لاک پشت مسافتی (خیلی کوتاه) را طی کرده است(مثلا 1 فوت). حال آشیل وقت دارد تا آن مسیر کوتاه را طی کند و به نقطه دوم برسد. در همین مدت لاک پشت مسیری کوتاه تری طی کرده است. دفعه بعد آشیل به نقطه سومی که لاک پشت طی کرده می رسد.  بدین گونه هر وقت آشیل به نقطه ای که لاک پشت پشت سر گذاشته می رسد باز لاک پشت جلوتر از اوست. به همین دلیل زنون اعتقاد داشت آشیل چابک هرگز به لاک پشت نخواهد رسید. بنابر بحث بالایی آشیل نمی تواند به لاک پشت برسد ولی احساس و تجربه عامیانه ما دریافت میکند که سریعتر میتواند به کندتر برسد پس در اینجاست که پارادوکس ایجاد میشود.

پارادوکس تقسیم کننده

" حتی نمی تونی شروع کنی"

"قبل از اینکه متحرک به مقصد برسد، باید از اوساط راه ها عبور کند."

مردی را فرض کنید که قصد دارد به مقصد ثابت در 100 متر جلوتر از خود برسد. قبل از اینکه او بتواند به مقصد برسد، باید یک دوم مسیر را طی کند. قبل از اینکه نصف مسیر را طی کند باید یک چهارم مسیر را طی کند. قبل از آن یک هشتم، قبل از آن یک شانزدهم و الی آخر ...

{..., 1/32, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1}

این توضیحات نشان می دهد که فرد باید بی نهایت کار انجام دهد تا به مقصد برسد و این زنون مدعی بود که کاری غیرممکن است.

این مشکل، مشکل دومی نیز ایجاد می کند که آن نبودن اولین فاصله است! زیرا هر اولین فاصله کوچک فرضی می تواند به 2 تقسیم شود و از اینرو هیچ شروعی وجود نداشته و حرکت هرگز شروع نخواهد شد. طبق این نتیجه گیری دوطرفه، حرکت نه شروع میشود و نه پایان می یابد و تمامی حرکت ها فقط یک خطای حسی است !

پارادوکس برداری

"حتی نمی تونی حرکت کنی"

در پارادوکس برداری، زنون از ما می خواهد تا برداری در حال پرواز را تصور کنیم.  سپس از ما می خواهد تا زمان را به لحظه های بی نهایت کوچک تقسیم کنیم. در هر کدام از این لحظه ها ، وقتی به بردار نگاه کنیم، ثابت است و نمی تواند در این زمان های بی نهایت کوچک حرکتی کند . با اینکه حرکت در زمان حال انجام گرفته است ولی نمی توانسته در زمان حال، گذشته یا آینده اتفاق افتاده باشد! پس در تمام زمان ها بردار بی حرکت است و حرکت نمی تواند اتفاق بیافتد.

در حقیقت دو پارادوکس اول فضا را به قسمت های بیشمار تقسیم می کند و این پارادوکس تقسیم بندی را در مورد زمان انجام می دهد.

جواب مساله با استفاده از علامت گذاری علمی :

تعریف سری هندسی :

اگر X<1 باشد آنگاه سری روبرو برابر a/(1-x) خواهد بود.

 

حال به راحتی مساله آشیل و لاک پشت حل می شود :

اگر لاک پشت با سرعت V متر بر ثانیه، از d متر جلوتر حرکت خود را شروع، و آشیل حرکت خود را با سرعت xV متر بر ثانیه ( x > 1 )  شروع کرده باشد، آشیل d/xv ثانیه وقت دارد تا به نقطه شروع حرکت لاک پشت برسد. در همین مدت زمان، لاک پشت d/x متر حرکت کرده است. حال آشیل در مدت d/x^2 ثانیه این مسافت(d/x) را طی می کند. در همین مدت لاک پشت d/x^2 متر حرکت کرده و الی آخر. بنابراین زمانی که طول می کشد آشیل به لاک پشت برسد با سری هندسی زیر تعریف می شود :

 

 

تا زمانی که حاصل بالا مقداری محدود داشته باشد، آشیل می تواند به لاک پشت برسد.

مشابه همین مساله پارادوکس دوم نیز حل می شود :

اگر مرد نصف حرکت را در h ثانیه طی کند،  نصف دیگر را در h/2 ، بعدی را در h/4 و الی آخر ... پس طبق رابطع زیر 2h ثانیه طول می کشد تا فرد به مقصد برسد:

 

 

حال یک مثال عینی می آوریم :

فرض کنید لاک پشت 10 متر جلوتر از آشیل قرار گرفته و سرعت حرکت آن 1 متر بر ثانیه است.آشیل هم 10 متر بر ثانیه سرعت دارد !...

بنابراین بعد از 1 ثانیه آشیل به نقطه شروع لاک پشت می رسد و لاک پشت 1 متر طی کرده و جلوتر از اوست. بعد از 0.1 ثانیه آشیل این مسافت را نیز طی می کند ولی لاک پشت 0.1 متر جلوتر از اوست. بعد از 0.01 ثانیه آشیل این مسافت را طی کرده ولی لاک پشت 0.01 متر جلوتر از اوست ...مثل اینکه آشیل هیچ وقت نمی تواند به لاک پشت برسد ... اما حتی اگر تعداد این مراحل برای رسیدن به لاک پشت نامحدود باشد ولی زمانی که برای این کار وجود دارد محدود بوده و برابر۹/۱۰ = ۰.۰۰۱+ ۰.۰۱+۰.۱+۱است. بنابراین آشیل ده نهم متر بعد از نقطه شروع لاک پشت به آن می رسد !

این مساله با استفاده از حساب دیفرانسل و انتگرال نیز حل می شود ! (حد)

آیا واقعا می توان زمان را به بی نهایت قسمت تقسیم کرد ؟

واقعیت این است که زمان از حدی به بعد قابل تقسیم نیست! زیرا در فیزیک اثبات می شود که زمان کمیتی کوانتومی بوده و کوچکترین واحد آن صفر نیست !

در مورد مکان نیز چنین می توان گفت!